一、函数可积的充分条件

1.定理设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积，即连续=>可积。
2.定理设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积。

 
二、定积分的若干重要性质
1.性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。
2.推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。
3.推论|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。
4.性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则m（b-a）≤∫abf(x)dx≤M（b-a）,该性质说明由被积函数在积分区间上的.最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。
5.性质（定积分中值定理）如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点ξ，使下式成立：∫abf(x)dx=f(ξ)（b-a）。
6.关于广义积分
设函数f(x)在区间[a,b]上除点c（a<>

 
三、微积分基本定理：
若函数f（x）在[a，b]上连续，且存在原函数F（x），即 ，则f在[a，b]上可积，且 ，这称为牛顿-莱布尼茨公式，它也常写成 。
定积分
1、定积分解决的典型问题
（1）曲边梯形的面积（2）变速直线运动的路程
四、定积分的应用
求平面图形的面积（曲线围成的面积）
直角坐标系下（含参数与不含参数）
极坐标系下（r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ）(扇形面积公式S=R2θ/2)
旋转体体积（由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成）（且体积V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲线的方程）
平行截面面积为已知的立体体积（V=∫abA（x）dx,其中A（x）为截面面积）
功、水压力、引力
函数的平均值（平均值y=1/(b-a)*∫abf(x)dx）

五、定积分的计算一般思路与步骤

1.分析积分区间是否关于原点对称，即为[-a,a]，如果是，则考虑被积函数的整体或者经过加减拆项后的部分是否具有奇偶性，如果有，则考虑使用“偶倍奇零”性质简化定积分计算。
2.考虑被积函数是否具有周期性，如果是周期函数，考虑积分区间的长度是否为周期的整数倍，如果是，则利用周期函数的定积分在任一周期长度的区间上的定积分相等的结论简化积分计算。
3.考察被积函数是否可以转换为“反对幂指三”五类基本函数中两个类型函数的乘积，或者是否包含有正整数n参数，或者包含有抽象函数的导数乘项，如果是，可考虑使用定积分的分部积分法计算定积分。
4.考察被积函数是否包含有特定结构的函数，比如根号下有平方和、或者平方差（或者可以转换为两项的平和或差的结构），是否有一次根式，对于有理式是否分母次数比分子次数高2次以上；是否包含有指数函数或对数函数，对于具有这样结构的积分，考虑使用三角代换、根式代换、倒代换或指数、对数代换等；换元的函数一般选取严格单调函数；与不定积分不同的是，在变量换元后，定积分的上下限必须转换为新的积分变量的范围，依据为：上限对上限、下限对下限；并且换元后直接计算出关于新变量的定积分即为最终结果，不再需要逆变换换元！
1、求几何图形的面积：在直角坐标系中，由曲线f(x)，直线x=a，x=b(a
2、变速运动问题：如果变速运动的物体的速度v关于时间t的函数是v=v(t)(v(t)≥0)，那么物体从时刻t=a到t=b所经过的路程为     如果变速运动的物体的速度v关于时间t的函数是v=v(t)
(v(t）≤0)，那么物体从时刻t=a到t=b所经过的路程为    。
1、在几何中的应用：求曲边梯形的面积；
2、在物理中的应用：（1）求变速直线运动的路程；（2）变力做功。
六、求定积分的方法：
方法1：用定义求定积分的一般步骤：
    (1)分割：n等分区间[a，b]；
    (2)近似代替：取点ξi∈[xi-1，xi]；
    (3)求和:
    (4)取极限:
方法2：用所求定积分表示的几何意义求积分
当定积分表示的面积容易求时，则利用定积分的几何意义求积分.