26.1.2　反比例函数的图象和性质(第2课时)

学习目标

1.能用反比例函数的定义和性质解决相关的数学问题.

2.经历探索反比例函数与方程、不等式之间关系的过程,体会它们之间的内在的辩证关系.

3.进一步认识数形结合的思想和待定系数法,灵活 运用反比例函数的图象和性质解决问题.

一、反比例函数定义：

反比例函数的图象属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线,反比例函数图象中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交。
二、反比例函数图像和性质：
单调性
当k>0时，图象分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而减小；
当k<0时，图象分别位于第二、四象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而增大。
k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
相交性
因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交，只能无限接近x轴，y轴。
对称性
反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点；反比例函数的图象也是轴对称图形，其对称轴为y=x和y=-x；反比例函数图象上的点关于坐标原点对称。
三、反比例函数中考考题：

反比例函数的应用解题一般步骤：
① 找出问题中的变量和常量及它们之间的函数关系；
② 列反比例函数表达式表示它们之间的关系；
③ 应用反比例函数的图象及性质解题；
④ 检验结果的合理性，检验是否符合实际意义
1、如图，矩形ABCD的边AB与y轴平行，顶点A的坐标为(1，2)，点B与点D在反比例函数y=(x＞0)的图象上，则点C的坐标为_____．

答案：（3，6）
解析:设B、D两点的坐标分别为（1，y）、（x，2），再根据点B与点D在反比例函数y=
（x＞0）的图象上求出xy的值，进而可得出C的坐标．
解：∵四边形ABCD是矩形，顶点A的坐标为（1，2），
∴设B、D两点的坐标分别为（1，y）、（x，2），
∵点B与点D在反比例函数y=（x＞0）的图象上，
∴y=6，x=3，
∴点C的坐标为（3，6）．
故答案为：（3，6）．

2、 如图，已知直线y=x/2与双曲线y=k/x(k＞0)交于A，B两点，且点A的横坐标为2．过原点O的另一条直线l交双曲线y=x(k＞0)于P，Q两点(P点在第一象限)，若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为6，则点P的坐标为_____．

答案：（1，2）（4，1/2）
解析:易得点A的坐标，把点A的坐标代入双曲线解析式可得k的值，根据A，B两点关于原点对称也就得到了点B的坐标，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得S△APB=3，根据两点间的距离公式可得AB的长度，进而得到点P到直线AB的距离，设出点P的坐标根据点到直线的距离公式即可求得点P的坐标．
解：∵直线y=x/2与双曲线（k＞0）交于A，B两点，且点A的横坐标为2，
∴点A的纵坐标为1，
∴k=2×1=2，
∵反比例函数的图象关于原点对称，
∴点A，B，P，Q为顶点组成的四边形为平行四边形，点B的坐标为（-2，-1），
过A作y轴的平行线，过B作x轴的平行线，两线交于D，

AD=2，BD=4，
∴AB=2√5，
∵四边形APBQ面积是6，
∴S△APB=3，
∴P到AB距离=3√5/5
∵P在双曲线上，
设P（x，2/x），
根据点到直线距离公式，d=lx-4/xl / √5=3√5 / 5,
∴x=4或者x=-1（舍去）或者x=-4（舍去）或者x=1；
所以P（4，1/2）或者P（1，2）．

学习过程

一、复习巩固

1.反比例函数y= 的图象经过点A(-3,2),则此反比例函数的解析式为　　　　.区别于一次函数y=kx+b, 类似正比例函数y=kx,反比例函数y= 中只有　　　　个待定系数k,只需　　　　组x,y的对应值即可确定反比例函数的解析式.(为学习例3做准备) 

2.y=- 的图象叫　　　　　,图象位于第　　　象限,在每一象限内,当x增大时,则y　　　;函数y= 图象在第　　　象限,在每个象限内y随x的减少而　　　　. 

二、合作探究

【例1】已知反比例函数的图象经过点A(2,6).

(1)这个函数的图象分布在哪些象限?y随x的增大如何变化?

(2)点B(3,4),C 和D(2,5)是否在这个函数的图象上?

解:

【变式训练1】(1)若点B(-3,-3n+5)在此双曲线上,n=　　　　　　. 

(2)若C为此反比例函数图象上任意一点,CD垂直Ox于点D,CE垂直Oy于点E,求四边形ODCE的面积.(反过来若C为此反比例函数y= 图象上任意一点,CD垂直Ox于点D,CE垂直Oy于点E,四边形ODCE的面积是5,求k的值.)

【例2】如图是反比例函数y= 的图象的一支,根据图象回答下列问题:

(1)图象的另一支在哪个象限?常数m的取值范围 是什么 ?

(2)在这个函数图象的某一支上任取点A(a,b)和B(a',b'),如果a>a',那么b和b'有怎样的大小关系?

【变式训练2】(1)在这个函数图象上任取点M(x₁,y₁)和点N(x₂,y₂),且x₁<>₂<0,那么y₁和y₂有怎样的大小关系?

(2)试 比较 的大小.

三、评价作业

1.(10分)已知函数y= 的图象经过点(2,3),下列说法正确的是(　　)

A.y随x的增大而增大

B.函数的图象只在第一象限

C.当x<0时,必有y<0

D.点(-2,-3)不在此函数的图象上

2.(10分)反比例函数y= 的图象经过点(2,5),若点(1,n)在反比例函数图象上,则n等于(　　)

A.10　　　　　　　B. 5

C.2           D.-6

3.(10分)在反比例函数y=- 的图象上有三点(x₁,y₁),(x₂,y₂),(x₃,y₃),x₁>x₂>0>x₃,则下列各式中正确的是(　　)

A.y₃>y₁>y₂     B.y₃>y₂>y₁

C.y₁>y₂>y₃     D.y₁>y₃>y₂

4.(10分)在反比例函数y= 的图象所在的每个象限中,如果函数值y随自变量的x值增大而增大,那么常数k的取值范围是　　　　. 

5.(10分)如图,点P是反比例函数y= 图象上的一点,PD⊥x轴于D,则△POD的面积为　　　　. 

6.(10分)如图,点P是反比 例函数图象上的一点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,若阴影部分面积为3,则这个反 比例函数的关系 式是　　　　　　　　. 

7.(20分)如图,AB∥x轴,分别交双曲线y= 和y =- 于A,B,求△ABO的面积.

8.(20分)如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= 的图象交于A,B两点.

(1)根据图中条件,求反比例函数和一次函数的解析式;

(2)根椐函数图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围.

参考答案

一、复习巩固

1.y= 　1　1

2.双曲线　二、四　增大　一、三　增大

二、合作探究

【例1】解:(1)设这个反比例函数为y= ,

∵图 象过点A(2,6),

∴6= .解得k=12.

∴这个反比例函数的表达式为y= .

∵k>0,

∴这个函数的图象在第一、三象限.在每个象限内,y随x的增大而减小.

(2)把点B,C,D的坐标代入y= ,可知点B,C的坐标满足函数关系式,点D的坐标不满足函数关系式,所以点B,C在函数y= 的图象上,点D不在这个函数 的图象上.

【变式训练1】(1)3　解析:将x=-3,y=-3n+5代入y= 得, =-3n+5,解得n=3.

(2)解:设点C(a,b),则a·b=12,S_{四边形ODCE}=OD·CD=|a|·|b|=|a·b|=12;若C为此反比例函数y= 图象上任意一点,四边形ODCE的面积是5,求k的值为±5.

【例2】解:(1)反比例函数图象的分布只有两种可能,分布在第一、第三象限,或者分布在第二、第四象限.这个函数的图象的一支在第一象限,则另一支必在第三象限.

∵函数的图象在第一、第三象限,

∴m-5>0.解得m>5.

(2)∵m-5>0,∴在这个函数图象的任一支上,y随x的增大而减小,

∴①当a>a'>0或0>a>a'时,b<>;

②当a>0>a'时,b>b'.

【变式训练2】(1)解:∵m-5>0,在这个函数图象的任一支上,y随x的增大而减小,而x₁<>₂<0时,说明M(x₁,y₁)和点N(x₂,y₂)都在第三象限的分支上,

∴y₁>y₂.

(2)解:对于反比例函数y= 而言, 分别表示x=2和x=3时对应的函数值,

∵m-5>0,

∴5-m<0,

∴反比例函数y= 图象的每个分支上,y随x的增大而增大,

∵2<3,

∴ .

三、评价作业

1.C　2.A　3.A　4.k< 　5.1　6. y=

7.解:∵AB∥x轴,分别交双曲线y= 和y=- 于A,B,

∴AB⊥y轴,

∴S_△AOD= ×|-2|=1,S_△BOD= ×1= ,

∴S_△ABO=S_△AOD+S_△BOD=1+ .

8.解:(1)把A(-2,1)代入y= ,得m=-2;

∴反比例函数为y=- ;

把B(1,n)代入y=- ,得n=-2;

∴点B坐标为(1,-2),

把A(-2,1),B(1,-2)代入一次函数y=kx+b,得

解得

∴一次函数的解析式为y=-x-1.

(2)由函数图象可知,一次函数的值大于反比例函数的值时x的取值范围为x<-2或0<>1.