26.1.1　反比例函数

学习目标

1.理解反比例函 数的概念;

2.能根据实际问题情境列出反比例函数解析 式;

3.会用待定系数法求反比例函数解析式.

学习过程

反比例函数的定义

定义：形如函数y=k/x(k为常数且k≠0)叫做反比例函数，其中k叫做比例系数，x是自变量，y是自变量x的函数，x的取值范围是不等于0的一切实数。

反比例函数的性质

函数y=k/x 称为反比例函数，其中k≠0，其中X是自变量，

1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小;当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增大。

2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数;k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。

3.x的取值范围是： x≠0;

y的取值范围是：y≠0。

4..因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。 但随着x无限增大或是无限减少，函数值无限趋近于0，故图像无限接近于x轴

5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=x y=-x(即第一三，二四象限角平分线)，对称中心是坐标原点。

反比例函数的一般形式

一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成

(k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。

其中，x是自变量，y是函数。由于x在分母上，故取x≠0的一切实数，看函数y的取值范围，因为k≠0，且x≠0，所以函数值y也不可能为0。

补充说明：

1.反比例函数的解析式又可以写成： (k是常数，k≠0).

2.要求出反比例函数的解析式，利用待定系数法求出k即可.

反比例函数解析式的特征

⑴等号左边是函数，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数(也叫做比例系数)，分母中含有自变量，且指数为1。

⑵比例系数

⑶自变量的取值为一切非零实数。

⑷函数的取值是一切非零实数。

第一层学习:

1.自学指导

(1)自学内容:教材P2.

(2)自学时间:5分钟.

(3)自学方法:探究、思考、归纳、总结.

(4)自学参考提纲:

①形如y= (k为常数,k≠0)的函数叫做反比例函数,自变量x的取值范围是　　　. 

②由y= 可得,xy=k,若y=x^-n是反比例函数,则n=　　　. 

③反比例函数y=- 的比例系数k是　　　　. 

2.自学:学生可结合自学指导进行自学.

3.助学

(1)师助生:

①明了学情:了解学生是否会列函数关系式,是否会判断反比例函数.

②差异指导:指导学生从形式和自变 量的取值范围两个方面,对比正比例函数理解反比例函数.

(2)生助生:同桌之间、小组内交流、研讨.

4.强化

(1)反比例函数的定义;反比例函数式的变式;自变量x的取值范围;k的值.

(2)练习:

①写出下列问题中两个变量之间的函数关系式,并指出比例系数k的值.

a.一个游泳池的容积为2 000 m³,游泳池注满水所用的时间t(单位:h)随注水速度v(单位:m³/h)的变化而变化;

b.某长方体 的体积为1 000 m³,长方体的高h(单位:m)随底面积S(单位:m²)的变化而变化;

c.一个物体重100 N,物体对地面的压强p(N/m²)随该物体与地面的接触面积S(m²)的变化而变化.

②下列函数中哪些是反比例函数?哪些是正比例函数?并指出比例系数.

y=4x　 =3　y=- 　y=6x+1　y=x²-1　y= 　xy=123

③若函数y= 是反比例函数,则m的取值范围是　　　. 

第二层学习:

1.自学指导

(1)自学内容:教材P3例1.

(2)自学时间:5分钟.

(3)自学方法:先学习例题的方法,然后模仿 例题解答自学参考提纲中的问题.

(4)自学参考提纲:

①已知y是x的反比例函数,求其解析式时,一般先设　　　　,再由已知条件求出　　　　即可. 

②已知y是 x反比例函数,则y与x成反比例吗?如果y与x²成反比例,怎样设其解析式?

③已知y与x²成反比例,并且当x=3时,y=4.

a.写出y关于x的函数解析式;

b.当x=1.5时,求y的值;

c.当y=6时,求x的值.

2.自学:学生可结合自学指导进行自学.

3.助学

(1)师助生:

①明了学情:关注学生对成反比例与反比例函数的理解.

②差 异指导: 指导学生辨析反比例函数与成反比例.

(2)生助生:同桌之间、小组内交流、研讨.

4.强化:用待定系数法求反比例函数式的要点.

评价:

1.学生自我评价.

2.教师对学生的评价:(1)表现性评价;(2)纸笔评价(评价检测).

3.教师的自我评价(教学反思).

评价作业

一、基础巩固(70分)

1.(10分)下列等式中,y是x的反比例函数的是(　　)

A.y= 　　　　　B.xy=

C.y=5x+6      D.x=

2.(10分)矩形的面积为4,一条边的长为x,另一条边的长为y,则y与x的函数解析式为　　　. 

3.(10分)底边为5 cm的三角形的面积y(cm²)与底边上的高x(cm)的函数关系式是　　　　　. 

4.(10分)指出下列函数 中哪些是反比例函数,并指出k的值.

(1)y= 　(2)y=- 　(3)y=x²　(4)y=2x+1

5.(10分)写出下列函数解析式,并指出它们各是什么函数.

(1)体积是常数V时,圆柱的底面积S与高h的关系;

(2)柳树乡共有耕地S公顷,该乡人均耕地面积y与全乡总人口x的关系.

6.(10分)已知y与x²成反比例,并且当x=6时y=5.

(1)写出y与x之间的函数解析式;

(2)求当x=12时y的值.

7.(10分)已知y与x的部分取值满足下表:

试猜想y与x的函数关系可能是你们学过的哪类函数,并写出这个函数的解析式.

二、综合应用(20分)

8.(10分)已知函数y= 是关于x的反比例函数,求m的值并 写出函数表达式.

9.(10分)如果y是z的反比例函数,z是x的正比例函数,则y是 x的什么函数?

三、拓展延伸(10分)

10.(10分)已知函数y=y₁+y₂,y₁与x成正比例,y₂与x成反比例,且当x=1时,y=4;当x=2时,y=5.

(1)求y与x的函数关系式;

(2)当x=4时,求y的值.

参考答案

第一层学习

1.自学指导

(4)自学参考提纲:

①x≠0.

②1.

③

4.强化

(2)练习:

①a.t= ,k=2 000.

b.h= ,k=1 000.

c.p= , k=100.

②反比例函数:y=- ,比例系数为-2;xy=123,比例系数为123.

正比例函数:y=4x,比例系数为4; =3,比例系数为3.

③m≠2.

第二层学习

1.自学指导

(4)自学参考提纲:

①y= ,k.

②y与x成反比例.可设y= .

③a.y=

b.y=16

c.x=±

评价作业

1.B

2.y=

3.y= x

4.解:(2)y=- 是反比例函数,k=- .

5.解:(1)S= ,反比例函数.(2)y= ,反比例函数.

6.解:(1)设y= ,当x=6时,y=5,∴5= ,解得k=180,∴y= .

(2)把x=12代入y= ,得y= =1.25.

7.解:猜想:y是 x的反比例函数,解析式为y=- .

8.解:由函数y= 是关于x的反比例函数,得

解得m=-1,

反比例函数是y= .

9.解:∵y是z的反比例函数,

∴y= (k₁≠0),

∵z是x的正比例函数,

∴z=k₂x(k₂≠0),

∴y= ,

∴y是x的反比例函数.

10.解:(1)设y₁=k₁x,y₂= ,则y=k₁x+ ,∵当x=1时,y=4;当x=2时,y=5,

∴k₁+k₂=4,2k₁+ =5,∴k₁=k₂=2,∴y=2x+ .

(2)当x=4时,y=2×4+ .