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        第二十六章 二次函数

        26.1 二次函数及其图像

        二次函数(quadratic function)是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。

        一般的,自变量x和因变量y之间存在如下关系:

        一般式

        y=ax+bx+c(a0,abc为常数),顶点坐标为(-b/2a-(4ac-b2)/4a) ;

        顶点式

        y=a(x+m)2+k(a0,amk为常数)y=a(x-h)2+k(a0,ahk为常数),顶点坐标为(-mk)对称轴为x=-m,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同,有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式;

        交点式

        y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x10) B(x20)的抛物线] ;

        重要概念:abc为常数,a0,且a决定函数的开口方向,a0时,开口方向向上,a0时,开口方向向下。a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。

        牛顿插值公式(已知三点求函数解析式)

        y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)+(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3)+(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3) 。由此可引导出交点式的系数a=y1/(x1*x2) (y1为截距)

         

        求根公式

        二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

        求根公式

        x是自变量,yx的二次函数

        x1,x2=[-b((b^2-4ac))]/2a

        (即一元二次方程求根公式)(如右图)

        求根的方法还有因式分解法和配方法

        在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像,

        可以看出,二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。

         

        不同的二次函数图像

        如果所画图形准确无误,那么二次函数将是由一般式平移得到的。

        注意:草图要有 1本身图像,旁边注明函数。

        2画出对称轴,并注明X=什么

        3X轴交点坐标,与Y轴交点坐标,顶点坐标。抛物线的性质

        轴对称

        1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a

        对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P

        特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y(即直线x=0)

        顶点

        2.抛物线有一个顶点P,坐标为P ( -b/2a 4ac-b^2;)/4a )

        -b/2a=0时,Py轴上;= b^2;-4ac=0时,Px轴上。

        开口

        3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

        a0时,抛物线向上开口;a0时,抛物线向下开口。

        |a|越大,则抛物线的开口越小。

        决定对称轴位置的因素

        4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

        ab同号时(ab0),对称轴在y轴左; 因为若对称轴在左边则对称轴小于0,也就是- b/2a0,所以b/2a要大于0,所以ab要同号

        ab异号时(ab0),对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0,也就是- b/2a0, 所以b/2a要小于0,所以ab要异号

        可简单记忆为左同右异,即当ab同号时(ab0),对称轴在y轴左;ab异号时(ab 0 ),对称轴在y轴右。

        事实上,b有其自身的几何意义:抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式(一次函数)的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。

        决定抛物线与y轴交点的因素

        5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

        抛物线与y轴交于(0c)

        抛物线与x轴交点个数

        6.抛物线与x轴交点个数

        = b^2-4ac0时,抛物线与x轴有2个交点。

        = b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。

        _______

        = b^2-4ac0时,抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x= -bb^2-4ac 的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a)

        a0时,函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b{x|x-b/2a}上是减函数,在

        {x|x-b/2a}上是增函数;抛物线的开口向上;函数的值域是{y|y4ac-b^2/4a}相反不变

        b=0时,抛物线的对称轴是y轴,这时,函数是偶函数,解析式变形为y=ax^2+c(a0)

        特殊值的形式

        7.特殊值的形式

        ①当x=1 y=a+b+c

        ②当x=-1 y=a-b+c

        ③当x=2 y=4a+2b+c

        ④当x=-2 y=4a-2b+c

        二次函数的性质

        8.定义域:R

        值域:(对应解析式,且只讨论a大于0的情况,a小于0的情况请读者自行推断)[(4ac-b^2)/4a

        正无穷);[t,正无穷)

        奇偶性:当b=0时为偶函数,当b0时为非奇非偶函数。

        周期性:无

        解析式:

        y=ax^2+bx+c[一般式]

        a0

        a0,则抛物线开口朝上;a0,则抛物线开口朝下;

        ⑶极值点:(-b/2a(4ac-b^2)/4a);

        =b^2-4ac,

        0,图象与x轴交于两点:

        ([-b-]/2a0)([-b+]/2a0);

        =0,图象与x轴交于一点:

        (-b/2a0);

        0,图象与x轴无交点;

        y=a(x-h)^2+k[顶点式]

        此时,对应极值点为(hk),其中h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4a;

        y=a(x-x1)(x-x2)[交点式(双根式)](a0)

        对称轴X=(X1+X2)/2 a0 X(X1+X2)/2时,YX的增大而增大,当a0X(X1+X2)/2YX

        的增大而减小

        此时,x1x2即为函数与X轴的两个交点,将XY代入即可求出解析式(一般与一元二次方程连

        )

        交点式是Y=A(X-X1)(X-X2) 知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式。两交点X值就是相应X1 X2值。

        26.2 用函数观点看一元二次方程

        1. 如果抛物线 与x轴有公共点,公共点的横坐标是 ,那么当 时,函数的值是0,因此 就是方程的一个根。

        2. 二次函数的图象与x轴的位置关系有三种:没有公共点,有一个公共点,有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况:没有实数根,有两个相等的实数根,有两个不等的实数根。

        26.3 实际问题与二次函数

        在日常生活、生产和科研中,求使材料最省、时间最少、效率最高等问题,有些可归结为求二次函数的最大值或最小值。

         

         

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