一、求二次函数的解析式方法

（1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
（2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
（3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
（4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
二、二次函数的三种形式

1. 一般式：

y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [-b/2a，(4ac-b²)/4a]
把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。
②顶点式：
y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，当x=h时，y最值=k。有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
具体可分为下面几种情况：
1.当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；
2.当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；
3.当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；
4.当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
5.当h<0,k>0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
6.当h<0,k<0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。
③交点式：
1.y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b2-4ac≥0] .
2.已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x1，0）和 B（x2，0）,我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。
 

三、二次函数的应用：
（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；
建立数学模型；
解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。
四、由一般式变为交点式的步骤：
二次函数
∵x1+x2=-b/a， x1?x2=c/a(由韦达定理得),
∴y=ax2+bx+c
=a(x2+b/ax+c/a)
=a[x2-(x1+x2)x+x1?x2]
=a(x-x1)(x-x2).
重要概念：
a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a>0时，开口方向向上；
a<0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。
a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。
能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式；
能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用；
能熟练地运用二次函数解决实际问题。
五、二次函数的其他表达形式：
①牛顿插值公式:
f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)由此可引导出交点式的系数a=y/(x·x)(y为截距)　
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
②双根式
y=a(x-x1)*(x-x2)
若ax2+bx+c=0有两个实根x1,x2，则y=a(x-x1)(x-x2)此抛物线的对称轴为直线x=(x1+x2)/2。
③三点式
已知二次函数上三个点，（x1,f(x1)）（x2,f(x2)）（x3,f(x3)）
则f(x)=f(x3)(x-x1)(x-x2)/(x3-x1)(x3-x2)+f(x2)(x-x1)*(x-x3)/(x2-x1)(x2-x3)+f(x1)(x-x2)(x-x3)/(x1-x2)(x1-x3)
与X轴交点的情况
当△=b2-4ac>0时，函数图像与x轴有两个交点。(x1,0), (x2,0);
当△=b2-4ac=0时，函数图像与x轴只有一个交点。(-b/2a，0)。
Δ=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。
X的取值是虚数（x=-b±√b2－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）
六、二次函数解释式的求法：
就一般式y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c为常数，且a≠0）而言，其中含有三个待定的系数a ，b ，c．求二次函数的一般式时，必须要有三个独立的定量条件，来建立关于a ，b ，c 的方程，联立求解，再把求出的a ，b ，c 的值反代回原函数解析式，即可得到所求的二次函数解析式。
1.巧取交点式法：
知识归纳：二次函数交点式：y＝a(x－x1)(x－x2) （a≠0）x1，x2分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标。
已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便。
①典型例题一：告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式。
例：已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式。
点拨：
解设函数的解析式为y＝a(x+2)(x-1)，
∵过点（2，8），
∴8＝a(2+2)(2-1)。
解得a=2，
∴抛物线的解析式为：
y＝2(x+2)(x-1)，
即y＝2x2+2x-4。
②典型例题二：告诉抛物线与x轴的两个交点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解。
例：已知二次函数的顶点坐标为（3，-2），并且图象与x轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式。
点拨：
在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决．由顶点坐标为（3，-2）的条件，易知其对称轴为x＝3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x轴两交点的坐标分别为（1，0）和（5，0）。此时，可使用二次函数的交点式，得出函数解析式。
2.巧用顶点式：
顶点式y=a(x－h)2+k（a≠0），其中（h，k）是抛物线的顶点。当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数a。在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题。在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便．
①典型例题一：告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数顶点式。
例：已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式。
点拨：
解∵顶点坐标为（-1，-2），
故设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2 （a≠0）。
把点（1，10）代入上式，得10=a·(1+1)2-2。
∴a=3。
∴二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2，即y=3x2+6x+1。
②典型例题二：
如果a>0，那么当  时，y有最小值且y最小= ；
如果a<0，那么，当 时，y有最大值，且y最大= 。
告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标，同样也可以求出顶点式。
例：已知二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。
点拨：
析解∵二次函数当x＝4时有最小值－3，∴顶点坐标为（4，-3），对称轴为直线x＝4，抛物线开口向上。
由于图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是（1，0）和（7，0）。
∴抛物线的顶点为（4，-3）且过点（1，0）。
故可设函数解析式为y＝a(x－4)2－3。
将（1，0）代入得0＝a(1－4)2－3, 解得a＝13．
∴y＝13(x－4)2-3，即y＝13x2－83x＋73。
③典型例题三：告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出。
例如：
（1）已知二次函数的图象经过点A（3，-2）和B（1，0），且对称轴是直线x＝3．求这个二次函数的解析式.
（2）已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交y轴于点（0，2），且过点（-1，0），求这个二次函数的解析式.
（3）已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点（1，4）和点（5，0），求此抛物线的解析式.
（4）二次函数的图象的对称轴x=-4，且过原点，它的顶点到x轴的距离为4，求此函数的解析式．
④典型例题四：利用函数的顶点式，解图像的平移等问题非常方便。
例：把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位, 所得图像的解析式是y=x2-3x+5, 则函数的解析式为_______。
点拨：
解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94, 即y=(x-32)2+114。
∵它是由抛物线的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位得到的，
∴原抛物线的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7。