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2020年高考数学一轮复习全套教案含学案教学反思学习方法（68份）详细信息
| 宜城教育365速发国际靠谱么_365bet亚洲官方网址_预付365商城下载网www.bjtlcd.com2020年高考数学一轮复习全套教案含学案教学反思学习方法（68份）第二节函数的单调性与最值[考纲传真]1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质．1．增函数、减函数 增函数 减函数定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的[常用结论]函数单调性的常用结论(1)对?x1，x2∈D(x1≠x2)，fx1－fx2x1－x2＞0?f(x)在D上是增函数，fx1－fx2x1－x2＜0?f(x)在D上是减函数．(2)对勾函数y＝x＋ax(a＞0)的增区间为(－∞，－a]和[a，＋∞)，减区间为[－a，0)和(0，a]．(3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是"同增异减"．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打"√"，错误的打"×")(1)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，x1≠x2且(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在区间D上是增函数． ()(2)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)． ()(3)函数y＝|x|是R上的增函数． ()(4)函数y＝x2－2x在区间[3，＋∞)上是增函数，则函数y＝x2－2x的单调递增区间为[3，＋∞)． ()[答案](1)√(2)×(3)×(4)×2．(教材改编)如图是函数y＝f(x)，x∈[－4,3]上的图象，则下列说法正确的是()A．f(x)在[－4，－1]上是减函数，在[－1,3]上是增函数B．f(x)在区间(－1,3)上的最大值为3，最小值为－2C．f(x)在[－4,1]上有最小值－2，有最大值3D．当直线y＝t与y＝f(x)的图象有三个交点时－1＜t＜2C[由图象知，函数f(x)在[－4,1]上有最小值－2，最大值3，故选C.]3．(教材改编)已知函数f(x)＝2x－1，x∈[2,6]，则f(x)的最大值为________，最小值为________．225[可判断函数f(x)＝2x－1在[2,6]上为减函数，所以f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝25.]4．函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________．－∞，－12[由题意知2k＋1＜0，得k＜－12.]5．f(x)＝x2－2x，x∈[－2,3]的单调增区间为________，f(x)max＝________.[1,3]8[f(x)＝(x－1)2－1，故f(x)的单调增区间为[1,3]，f(x)max＝f(－2)＝8.]确定函数的单调性(区间)【例1】(1)(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()A．(－∞，－2) B．(－∞，1)C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)D[由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.设t＝x2－2x－8，则y＝lnt在t∈(0，＋∞)上为增函数．欲求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间．∵函数t＝x2－2x－8的单调递增区间为(4，＋∞)，∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．故选D.](2)试讨论函数f(x)＝x＋kx(k＞0)的单调性．[解]法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任取x1，x2，令0＜x1＜x2，那么f(x2)－f(x1)＝x2＋kx2－x1＋kx1＝(x2－x1)＋k1x2－1x1＝(x2－x1)·x1x2－kx1x2.因为0＜x1＜x2，所以x2－x1＞0，x1x2＞0.故当x1，x2∈(k，＋∞)时，f(x1)＜f(x2)，即函数在(k，＋∞)上单调递增．当x1，x2∈(0，k)时，f(x1)＞f(x2)，即函数在(0，k)上单调递减．考虑到函数f(x)＝x＋kx(k＞0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(－∞，－k)上单调递增，在(－k，0)上单调递减．综上，函数f(x)在(－∞，－k)和(k，＋∞)上单调递增，在(－k，0)和(0，k)上单调递减．法二：f′(x)＝1－kx2.令f′(x)＞0得x2＞k，即x∈(－∞，－k)或x∈(k，＋∞)，故函数的单调增区间为(－∞，－k)和(k，＋∞)．令f′(x)＜0得x2＜k，即x∈(－k，0)或x∈(0，k)，故函数的单调减区间为(－k，0)和(0，k)．故函数f(x)在(－∞，－k)和(k，＋∞)上单调递增，在(－k，0)和(0，k)上单调递减．[规律方法]1.确定函数单调性的4种方法(1)定义法．利用定义判断．(2)导数法．适用于可以求导的函数．(3)图象法．由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用"和"或"，"连接，不能用"∪"连接．(4)复合函数法．对于函数y＝f(g(x))，先确定y＝f(v)，v＝g(x)的单调性，再利用"同增异减"的原则确定y＝f(g(x))的单调性．易错警示：确定函数的单调性(区间)，应先求定义域，在定义域内确定单调性(区间)．2．熟记函数单调性的4个常用结论(1)若f(x)，g(x)均是区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数；(2)若k＞0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k＜0，则kf(x)与f(x)单调性相反；(3)函数y＝f(x)(f(x)＞0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝1fx的单调性相反；(4)函数y＝f(x)(f(x)≥0)在公共定义域内与y＝fx的单调性相同．(1)已知函数f(x)＝x2－2x－3，则该函数的单调递增区间为()A．(－∞，1] B．[3，＋∞)C．(－∞，－1] D．[1，＋∞)(2)(2019·郑州模拟)函数y＝132x2－3x＋1的单调递增区间为()A．(1，＋∞) B.－∞，34C.12，＋∞ D.34，＋∞(1)B(2)B[(1)设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．(2)令t＝2x2－3x＋1，则t＝2x－342－18.又函数y＝13t是减函数，因此函数y＝132x2－3x＋1的单调递增区间为－∞，34.故选B.](3)试讨论函数f(x)＝axx－1(a≠0)在(－1,1)上的单调性．[解]法一：设－1＜x1＜x2＜1，f(x)＝ax－1＋1x－1＝a1＋1x－1，f(x1)－f(x2)＝a1＋1x1－1－a1＋1x2－1＝ax2－x1x1－1x2－1，由于－1＜x1＜x2＜1，所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0，故当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上递减；当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上递增．法二：f′(x)＝ax－1－axx－12＝－ax－12，所以当a＞0时，f′(x)＜0，当a＜0时，f′(x)＞0，即当a＞0时，f(x)在(－1,1)上为单调减函数，当a＜0时，f(x)在(－1,1)上为单调增函数．利用函数的单调性求最值(值域)1．函数f(x)＝13x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．3[函数f(x)在区间[－1,1]上是减函数，则f(x)max＝f(－1)＝13－1－log21＝3.]2．函数f(x)＝3x－1x＋2，x∈[－5，－3]的值域为________．163，10[f(x)＝3x－1x＋2＝3x＋2－7x＋2＝3－7x＋2，则函数f(x)在区间[－5，－3]上是增函数．所以f(x)max＝f(－3)＝3－7－3＋2＝10，f(x)min＝f(－5)＝3－7－5＋2＝163.因此函数f(x)的值域为163，10.]3．函数f(x)＝1x，x≥1，－x2＋2，x＜1的最大值为________．2[当x≥1时，函数f(x)＝1x为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x＜1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.][规律方法]求函数值域的几个常见类型1若所给函数能够判断单调性，可直接利用单调性求解.2形如求函数的值域或最值，可先将函数解析式变为的形式，再用单调性求解.3分段函数的最值，先求每一个子区间上的最值，则各个区间上最大值中的最大者为分段函数的最大值，各个区间上最小值中的最小值作为分段函数的最小值.4求复合函数y＝fgx的值域，可先求gx的值域，再求y＝fgx的值域.,特别地：若函数解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等或函数图象易作出，可用数形结合法求解.函数单调性的应用?考法1比较函数值的大小【例2】已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，设a＝f－12，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为()A．c＞a＞b B．c＞b＞aC．a＞c＞b D．b＞a＞cD[因为f(x)的图象关于直线x＝1对称．由此可得f－12＝f52.由x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，知f(x)在(1，＋∞)上单调递减．因为1＜2＜52＜3，所以f(2)＞f52＞f(3)，所以b＞a＞c.]?考法2解函数不等式【例3】(2019·青岛模拟)已知函数f(x)＝x3＋sinx，x∈(－1,1)，则满足f(a2－1)＋f(a－1)＞0的a的取值范围是()A．(0,2) B．(1，2)C．(1,2) D．(0，2)B[由题意知f(－x)＝(－x)3＋sin(－x)＝－x3－sinx＝－(x3＋sinx)＝－f(x)，x∈(－1,1)，∴f(x)在区间(－1,1)上是奇函数．又f′(x)＝3x2＋cosx＞0，∴f(x)在区间(－1,1)上单调递增，∵f(a2－1)＋f(a－1)＞0，∴－f(a－1)＜f(a2－1)，∴f(1－a)＜f(a2－1)，∴－1＜1－a＜1，－1＜a2－1＜1，1－a＜a2－1，解得1＜a＜2，故选B.]?考法3求参数的值或取值范围【例4】(1)若函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是()A.－14，＋∞ B.－14，＋∞C.－14，0 D.－14，0(2)已知函数f(x)＝a－2x－1，x≤1，logax，x＞1，若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．(1)D(2)(2,3][(1)当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－1a，因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，所以a＜0，且－1a≥4，解得－14≤a＜0.综上所述，实数a的取值范围是－14，0.(2)要使函数f(x)在R上单调递增，则有a＞1，a－2＞0，f1≤0，即a＞1，a＞2，a－2－1≤0，解得2＜a≤3，即实数a的取值范围是(2,3]．][规律方法]函数单调性应用问题的3种常见类型及解题策略1比较大小.2解不等式.利用函数的单调性将"f"符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域.3利用单调性求参数.①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.(1)若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝ax＋1在区间[1,2]上都是减函数，则实数a的取值范围是()A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)∪(0,1]C．(0,1) D．(0,1](2)已知函数f(x)＝x3，x≤0，lnx＋1，x＞0，若f(2－x2)＞f(x)，则实数x的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C．(－1,2) D．(－2,1)(3)已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，当x1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2时，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＜0.设a＝ln1π，b＝(lnπ)2，c＝lnπ，则()A．f(a)＞f(b)＞f(c) B．f(b)＞f(a)＞f(c)C．f(c)＞f(a)＞f(b) D．f(c)＞f(b)＞f(a)(4)已知函数f(x)＝ax，x＜0，a－3x＋4a，x≥0满足对任意x1≠x2，都有fx1－fx2x1－x2＜0成立，则实数a的取值范围是()A.0，14 B．(1,2]C．(1,3) D.12，1(1)D(2)D(3)C(4)A[(1)因为f(x)＝－x2＋2ax在[1,2]上是减函数，所以a≤1，又因为g(x)＝ax＋1在[1,2]上是减函数，所以a＞0，所以0＜a≤1.(2)因为当x＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，所以函数的图象是一条连续的曲线．因为当x≤0时，函数f(x)＝x3为增函数，当x＞0时，f(x)＝ln(x＋1)也是增函数，所以函数f(x)是定义在R上的增函数．因此，不等式f(2－x2)＞f(x)等价于2－x2＞x，即x2＋x－2＜0，解得－2＜x＜1.(3)由题意可知f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且f(a)＝f(|a|)，f(b)＝f(|b|)，f(c)＝f(|c|)，又|a|＝lnπ＞1，|b|＝(lnπ)2＞|a|，|c|＝12lnπ，且0＜12lnπ＜|a|，故|b|＞|a|＞|c|＞0，∴f(|c|)＞f(|a|)＞f(|b|)，即f(c)＞f(a)＞f(b)．(4)由题意知，函数f(x)在R上是减函数，则0＜a＜1，a－3＜0，a0≥4a，解得0＜a≤14，故选A.]1．(2016·全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lgx的定义域和值域相同的是()A．y＝x B．y＝lgxC．y＝2x D．y＝1xD[函数y＝10lgx的定义域与值域均为(0，＋∞)．函数y＝x的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．函数y＝lgx的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)．函数y＝2x的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)．函数y＝1x的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D.]2．(2015·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－11＋x2，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是()A.13，1B.－∞，13∪(1，＋∞)C.－13，13D.－∞，－13∪13，＋∞A[法一：分析f(x)的奇偶性和单调性，然后对所给不等式作出等价转化．∵f(－x)＝ln(1＋|－x|)－11＋－x2＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数．∵当x≥0时，f(x)＝ln(1＋x)－11＋x2，在(0，＋∞)上y＝ln(1＋x)递增，y＝－11＋x2也递增，根据单调性的性质知，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．综上可知：f(x)>f(2x－1)?f(|x|)>f(|2x－1|)?|x|>|2x－1|?x2>(2x－1)2?3x2－4x＋1<0?13 |
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